求解 x 的值 (复数求解)
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2x^{2}+12x+40=0
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a,12 替换 b,并用 40 替换 c。
x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
对 12 进行平方运算。
x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}
求 -4 与 2 的乘积。
x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}
求 -8 与 40 的乘积。
x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}
将 -320 加上 144。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}
取 -176 的平方根。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}
求 2 与 2 的乘积。
x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}
现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} 的解。 将 4i\sqrt{11} 加上 -12。
x=-3+\sqrt{11}i
-12+4i\sqrt{11} 除以 4。
x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}
现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} 的解。 将 -12 减去 4i\sqrt{11}。
x=-\sqrt{11}i-3
-12-4i\sqrt{11} 除以 4。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
现已求得方程式的解。
2x^{2}+12x+40=0
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
2x^{2}+12x+40-40=-40
将等式的两边同时减去 40。
2x^{2}+12x=-40
40 减去它自己得 0。
\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{-40}{2}
两边同时除以 2。
x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{-40}{2}
除以 2 是乘以 2 的逆运算。
x^{2}+6x=\frac{-40}{2}
12 除以 2。
x^{2}+6x=-20
-40 除以 2。
x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}
将 x 项的系数 6 除以 2 得 3。然后在等式两边同时加上 3 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
x^{2}+6x+9=-20+9
对 3 进行平方运算。
x^{2}+6x+9=-11
将 9 加上 -20。
\left(x+3\right)^{2}=-11
对 x^{2}+6x+9 进行因式分解。一般而言,当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时,总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}
对方程两边同时取平方根。
x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i
化简。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
将等式的两边同时减去 3。