求解 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$2x^{2}+12x+40=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 2 替换 a，12 替换 b，并用 40 替换 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

对 12 进行平方运算。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

求 -8 与 40 的乘积。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

将 -320 加上 144。

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

取 -176 的平方根。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} 的解。 将 4i\sqrt{11} 加上 -12。

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

-12+4i\sqrt{11} 除以 4。

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} 的解。 将 -12 减去 4i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

-12-4i\sqrt{11} 除以 4。

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

现已求得方程式的解。

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$2x^{2}+12x+40=0$$

将等式的两边同时减去 40。

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

40 减去它自己得 0。

$$2x^{2}+12x=-40$$

两边同时除以 2。

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

除以 2 是乘以 2 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

12 除以 2。

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

-40 除以 2。

$$x^{2}+6x=-20$$

将 x 项的系数 6 除以 2 得 3。然后在等式两边同时加上 3 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

对 3 进行平方运算。

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

将 9 加上 -20。

$$x^{2}+6x+9=-11$$

对 x^{2}+6x+9 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

化简。

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

将等式的两边同时减去 3。

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$