Solve 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

解 x (復數求解)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+12x+40=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 12 代入 b，以及將 40 代入 c。

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

對 12 平方。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

-8 乘上 40。

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

將 144 加到 -320。

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

取 -176 的平方根。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}。 將 -12 加到 4i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

-12+4i\sqrt{11} 除以 4。

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}。 從 -12 減去 4i\sqrt{11}。

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

-12-4i\sqrt{11} 除以 4。

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

現已成功解出方程式。

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+12x+40=0$$

從方程式兩邊減去 40。

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

從 40 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+12x=-40$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

12 除以 2。

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

-40 除以 2。

$$x^{2}+6x=-20$$

將 6 (x 項的係數) 除以 2 可得到 3。接著，將 3 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

對 3 平方。

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

將 -20 加到 9。

$$x^{2}+6x+9=-11$$

因數分解 x^{2}+6x+9。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

化簡。

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

從方程式兩邊減去 3。

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$