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$2 \exponential{x}{2} + 12 x + 40 = 0 $
解 x (復數求解)
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2x^{2}+12x+40=0
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 2 代入 a,將 12 代入 b,以及將 40 代入 c。
x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
對 12 平方。
x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}
-4 乘上 2。
x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}
-8 乘上 40。
x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}
將 144 加到 -320。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}
取 -176 的平方根。
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}
2 乘上 2。
x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}。 將 -12 加到 4i\sqrt{11}。
x=-3+\sqrt{11}i
-12+4i\sqrt{11} 除以 4。
x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}。 從 -12 減去 4i\sqrt{11}。
x=-\sqrt{11}i-3
-12-4i\sqrt{11} 除以 4。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
現已成功解出方程式。
2x^{2}+12x+40=0
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
2x^{2}+12x+40-40=-40
從方程式兩邊減去 40。
2x^{2}+12x=-40
從 40 減去本身會剩下 0。
\frac{2x^{2}+12x}{2}=\frac{-40}{2}
將兩邊同時除以 2。
x^{2}+\frac{12}{2}x=\frac{-40}{2}
除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。
x^{2}+6x=\frac{-40}{2}
12 除以 2。
x^{2}+6x=-20
-40 除以 2。
x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}
將 6 (x 項的係數) 除以 2 可得到 3。接著,將 3 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}+6x+9=-20+9
對 3 平方。
x^{2}+6x+9=-11
將 -20 加到 9。
\left(x+3\right)^{2}=-11
因數分解 x^{2}+6x+9。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}
取方程式兩邊的平方根。
x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i
化簡。
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
從方程式兩邊減去 3。