Solve 2/b-3-6/2b+1=4

$$\frac{2}{b-3}-\frac{6}{2b+1}=4$$

解 b

$$b = \frac{\sqrt{337} + 9}{8} \approx 3.419694969$$

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}\approx -1.169694969$$

使用二次方程式公式的步驟

變數 b 不能等於 -\frac{1}{2},3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(b-3\right)\left(2b+1\right)，這是 b-3,2b+1 的最小公倍數。

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 2b+1 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 b-3 乘上 6 時使用乘法分配律。

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

若要尋找 6b-18 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

合併 4b 和 -6b 以取得 -2b。

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

將 2 與 18 相加可以得到 20。

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 4 乘上 b-3 時使用乘法分配律。

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

計算 4b-12 乘上 2b+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

從兩邊減去 8b^{2}。

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

新增 20b 至兩側。

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

合併 -2b 和 20b 以取得 18b。

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

新增 12 至兩側。

$$18b+20-8b^{2}+12=0$$

將 20 與 12 相加可以得到 32。

$$18b+32-8b^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-8b^{2}+18b+32=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -8 代入 a，將 18 代入 b，以及將 32 代入 c。

$$b=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

對 18 平方。

$$b=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-8\right)\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

-4 乘上 -8。

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+32\times 32}}{2\left(-8\right)}$$

32 乘上 32。

$$b=\frac{-18±\sqrt{324+1024}}{2\left(-8\right)}$$

將 324 加到 1024。

$$b=\frac{-18±\sqrt{1348}}{2\left(-8\right)}$$

取 1348 的平方根。

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{2\left(-8\right)}$$

2 乘上 -8。

$$b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}。 將 -18 加到 2\sqrt{337}。

$$b=\frac{2\sqrt{337}-18}{-16}$$

-18+2\sqrt{337} 除以 -16。

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 b=\frac{-18±2\sqrt{337}}{-16}。 從 -18 減去 2\sqrt{337}。

$$b=\frac{-2\sqrt{337}-18}{-16}$$

-18-2\sqrt{337} 除以 -16。

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$b=\frac{9-\sqrt{337}}{8} b=\frac{\sqrt{337}+9}{8}$$

配方法的步驟

變數 b 不能等於 -\frac{1}{2},3 中的任何值，因為未定義除數為零。 對方程式兩邊同時乘上 \left(b-3\right)\left(2b+1\right)，這是 b-3,2b+1 的最小公倍數。

$$\left(2b+1\right)\times 2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 2b+1 乘上 2 時使用乘法分配律。

$$4b+2-\left(b-3\right)\times 6=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 b-3 乘上 6 時使用乘法分配律。

$$4b+2-\left(6b-18\right)=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

若要尋找 6b-18 的相反數，請尋找每項的相反數。

$$4b+2-6b+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

合併 4b 和 -6b 以取得 -2b。

$$-2b+2+18=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

將 2 與 18 相加可以得到 20。

$$-2b+20=4\left(b-3\right)\left(2b+1\right)$$

計算 4 乘上 b-3 時使用乘法分配律。

$$-2b+20=\left(4b-12\right)\left(2b+1\right)$$

計算 4b-12 乘上 2b+1 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$-2b+20=8b^{2}-20b-12$$

從兩邊減去 8b^{2}。

$$-2b+20-8b^{2}=-20b-12$$

新增 20b 至兩側。

$$-2b+20-8b^{2}+20b=-12$$

合併 -2b 和 20b 以取得 18b。

$$18b+20-8b^{2}=-12$$

從兩邊減去 20。

$$18b-8b^{2}=-12-20$$

從 -12 減去 20 會得到 -32。

$$18b-8b^{2}=-32$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-8b^{2}+18b=-32$$

將兩邊同時除以 -8。

$$\frac{-8b^{2}+18b}{-8}=-\frac{32}{-8}$$

除以 -8 可以取消乘以 -8 造成的效果。

$$b^{2}+\frac{18}{-8}b=-\frac{32}{-8}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{18}{-8} 約分至最低項。

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=-\frac{32}{-8}$$

-32 除以 -8。

$$b^{2}-\frac{9}{4}b=4$$

將 -\frac{9}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{9}{8}。接著，將 -\frac{9}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=4+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

-\frac{9}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=4+\frac{81}{64}$$

將 4 加到 \frac{81}{64}。

$$b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}=\frac{337}{64}$$

因數分解 b^{2}-\frac{9}{4}b+\frac{81}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{337}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(b-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{337}{64}}$$

化簡。

$$b-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{337}}{8} b-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{337}}{8}$$

將 \frac{9}{8} 加到方程式的兩邊。

$$b=\frac{\sqrt{337}+9}{8} b=\frac{9-\sqrt{337}}{8}$$