Розв'яжіть 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 12 замість b і 40 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Піднесіть 12 до квадрата.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Додайте 144 до -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -12 до 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Розділіть -12+4i\sqrt{11} на 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{11} від -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Розділіть -12-4i\sqrt{11} на 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Відніміть 40 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Якщо відняти 40 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Розділіть 12 на 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Розділіть -40 на 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Поділіть 6 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 3. Потім додайте 3 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Додайте -20 до 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Розкладіть x^{2}+6x+9 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Виконайте спрощення.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Відніміть 3 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$