Решить 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 2 вместо a, 12 вместо b и 40 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Возведите 12 в квадрат.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Умножьте -4 на 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Умножьте -8 на 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Прибавьте 144 к -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Извлеките квадратный корень из -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Умножьте 2 на 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -12 к 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Разделите -12+4i\sqrt{11} на 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Решите уравнение x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{11} из -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Разделите -12-4i\sqrt{11} на 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Уравнение решено.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Вычтите 40 из обеих частей уравнения.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Если из 40 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Разделите обе части на 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Деление на 2 аннулирует операцию умножения на 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Разделите 12 на 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Разделите -40 на 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Разделите 6, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится 3. Затем добавьте квадрат 3 в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Прибавьте -20 к 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Разложите x^{2}+6x+9 на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Упростите.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$