x에 대한 해 (complex solution)
x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i
x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i
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2x^{2}+12x+40=0
ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.
x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 12을(를) b로, 40을(를) c로 치환합니다.
x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}
12을(를) 제곱합니다.
x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}
-4에 2을(를) 곱합니다.
x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}
-8에 40을(를) 곱합니다.
x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}
144을(를) -320에 추가합니다.
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}
-176의 제곱근을 구합니다.
x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}
2에 2을(를) 곱합니다.
x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}
±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}을(를) 풉니다. -12을(를) 4i\sqrt{11}에 추가합니다.
x=-3+\sqrt{11}i
-12+4i\sqrt{11}을(를) 4(으)로 나눕니다.
x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}
±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}을(를) 풉니다. -12에서 4i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.
x=-\sqrt{11}i-3
-12-4i\sqrt{11}을(를) 4(으)로 나눕니다.
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
수식이 이제 해결되었습니다.
2x^{2}+12x+40=0
이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.
2x^{2}+12x+40-40=-40
수식의 양쪽에서 40을(를) 뺍니다.
2x^{2}+12x=-40
자신에서 40을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.
\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}
양쪽을 2(으)로 나눕니다.
x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}
2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.
x^{2}+6x=-\frac{40}{2}
12을(를) 2(으)로 나눕니다.
x^{2}+6x=-20
-40을(를) 2(으)로 나눕니다.
x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}
x 항의 계수인 6을(를) 2(으)로 나눠서 3을(를) 구합니다. 그런 다음 3의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.
x^{2}+6x+9=-20+9
3을(를) 제곱합니다.
x^{2}+6x+9=-11
-20을(를) 9에 추가합니다.
\left(x+3\right)^{2}=-11
인수 x^{2}+6x+9. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}
수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.
x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i
단순화합니다.
x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3
수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.