다음을 풀어보세요: 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3.31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3.31662479i$$

근의 공식을 사용한 단계

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 2을(를) a로, 12을(를) b로, 40을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

12을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

-4에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

-8에 40을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

144을(를) -320에 추가합니다.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

-176의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

2에 2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}을(를) 풉니다. -12을(를) 4i\sqrt{11}에 추가합니다.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

-12+4i\sqrt{11}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}을(를) 풉니다. -12에서 4i\sqrt{11}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

-12-4i\sqrt{11}을(를) 4(으)로 나눕니다.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

제곱 완성 단계

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

수식의 양쪽에서 40을(를) 뺍니다.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

자신에서 40을(를) 빼면 0이(가) 남습니다.

$$2x^{2}+12x=-40$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

2(으)로 나누면 2(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

12을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

-40을(를) 2(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+6x=-20$$

x 항의 계수인 6을(를) 2(으)로 나눠서 3을(를) 구합니다. 그런 다음 3의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

-20을(를) 9에 추가합니다.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

x^{2}+6x+9을(를) 인수 분해합니다. 일반적으로 x^{2}+bx+c가 완전 제곱일 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}로 인수 분해될 수 있습니다.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

단순화합니다.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$