Επίλυση 2x^2+12x+40=0

$$2x^2+12x+40=0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 2, το b με 12 και το c με 40 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 2.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το -8 επί 40.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

Προσθέστε το 144 και το -320.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -176.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 2.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 4i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

Διαιρέστε το -12+4i\sqrt{11} με το 4.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4i\sqrt{11} από -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

Διαιρέστε το -12-4i\sqrt{11} με το 4.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Αφαιρέστε 40 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

Η αφαίρεση του 40 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

Η διαίρεση με το 2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 2.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

Διαιρέστε το -40 με το 2.

$$x^{2}+6x=-20$$

Διαιρέστε το 6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

Προσθέστε το -20 και το 9.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

Παραγον x^{2}+6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Απλοποιήστε.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$