2x^2+12x+40=0 Denklemini Çözme

$$2x^2+12x+40=0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=-3+\sqrt{11}i\approx -3+3,31662479i$$

$$x=-\sqrt{11}i-3\approx -3-3,31662479i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 2, b yerine 12 ve c yerine 40 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 2\times 40}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-8\times 40}}{2\times 2}$$

-8 ile 40 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-320}}{2\times 2}$$

-320 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-176}}{2\times 2}$$

-176 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} denklemini çözün. 4i\sqrt{11} ile -12 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{11}i}{4}$$

-12+4i\sqrt{11} sayısını 4 ile bölün.

$$x=-3+\sqrt{11}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±4\sqrt{11}i}{4} denklemini çözün. 4i\sqrt{11} sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}i-12}{4}$$

-12-4i\sqrt{11} sayısını 4 ile bölün.

$$x=-\sqrt{11}i-3$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}+12x+40=0$$

Denklemin her iki tarafından 40 çıkarın.

$$2x^{2}+12x+40-40=-40$$

40 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$2x^{2}+12x=-40$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}+12x}{2}=-\frac{40}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{12}{2}x=-\frac{40}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+6x=-\frac{40}{2}$$

-40 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}+6x=-20$$

x teriminin katsayısı olan 6 sayısını 2 değerine bölerek 3 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 3 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-20+3^{2}$$

3 sayısının karesi.

$$x^{2}+6x+9=-20+9$$

9 ile -20 sayısını toplayın.

$$x^{2}+6x+9=-11$$

x^{2}+6x+9 ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+3\right)^{2}=-11$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Sadeleştirin.

$$x+3=\sqrt{11}i x+3=-\sqrt{11}i$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$x=-3+\sqrt{11}i x=-\sqrt{11}i-3$$