แก้โจทย์ z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

หาค่า z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

แทนค่า t สำหรับ z^{3}

$$t^{2}-t+1=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -1 สำหรับ b และ 1 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

แก้สมการ t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

เนื่องจาก z=t^{3} โซลูชันได้รับโดยการแก้ไขสมการสำหรับแต่ละ t

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$