แก้โจทย์ z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

หาค่า z

$$z=1$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -8 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$z=1$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ z-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร z^{3}+3z^{2}+4z-8 ด้วย z-1 เพื่อรับ z^{2}+4z+8 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$z^{2}+4z+8=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 4 สำหรับ b และ 8 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$z\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$z=1$$