แก้โจทย์ z^2-20z=-100

$$z ^ { 2 } - 20 z = - 100$$

หาค่า z

$$z=10$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เพิ่ม 100 ไปทั้งสองด้าน

$$z^{2}-20z+100=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย z^{2}-20z+100 โดยใช้สูตร z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-20 ab=100$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 100

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -20

$$a=-10 b=-10$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(z+a\right)\left(z+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(z-10\right)\left(z-10\right)$$

เขียนใหม่เป็นทวินามกำลังสอง

$$\left(z-10\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยของสมการ ให้แก้ z-10=0

$$z=10$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เพิ่ม 100 ไปทั้งสองด้าน

$$z^{2}-20z+100=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น z^{2}+az+bz+100 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-20 ab=1\times 100=100$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 100

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -20

$$a=-10 b=-10$$

เขียน z^{2}-20z+100 ใหม่เป็น \left(z^{2}-10z\right)+\left(-10z+100\right)

$$\left(z^{2}-10z\right)+\left(-10z+100\right)$$

แยกตัวประกอบ z ในกลุ่มแรกและ -10 ใน

$$z\left(z-10\right)-10\left(z-10\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม z-10 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(z-10\right)\left(z-10\right)$$

เขียนใหม่เป็นทวินามกำลังสอง

$$\left(z-10\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยของสมการ ให้แก้ z-10=0

$$z=10$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$z^{2}-20z=-100$$

เพิ่ม 100 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z^{2}-20z-\left(-100\right)=-100-\left(-100\right)$$

ลบ -100 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$z^{2}-20z-\left(-100\right)=0$$

ลบ -100 จาก 0

$$z^{2}-20z+100=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -20 แทน b และ 100 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

ยกกำลังสอง -20

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 100}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 100

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2}$$

เพิ่ม 400 ไปยัง -400

$$z=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2}$$

หารากที่สองของ 0

$$z=-\frac{-20}{2}$$

ตรงข้ามกับ -20 คือ 20

$$z=\frac{20}{2}$$

หาร 20 ด้วย 2

$$z=10$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$z^{2}-20z=-100$$

หาร -20 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -10 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}-20z+\left(-10\right)^{2}=-100+\left(-10\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -10

$$z^{2}-20z+100=-100+100$$

เพิ่ม -100 ไปยัง 100

$$z^{2}-20z+100=0$$

ตัวประกอบz^{2}-20z+100 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z-10\right)^{2}=0$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z-10\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z-10=0 z-10=0$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z=10 z=10$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว ผลเฉลยจะเหมือนกัน

$$z=10$$