แก้โจทย์ z^2+2z-1=0

$$z ^ { 2 } + 2 z - 1 = 0$$

หาค่า z (complex solution)

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$z=-\left(\sqrt{2}+1\right)\approx -2.414213562$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$z^{2}+2z-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, 2 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง 2

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 4

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

หารากที่สองของ 8

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2 ไปยัง 2\sqrt{2}

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

หาร -2+2\sqrt{2} ด้วย 2

$$z=\sqrt{2}-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{2} จาก -2

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

หาร -2-2\sqrt{2} ด้วย 2

$$z=-\sqrt{2}-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$z^{2}+2z-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$z^{2}+2z=1$$

หาร 2 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ 1 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

ยกกำลังสอง 1

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 1

$$z^{2}+2z+1=2$$

ตัวประกอบz^{2}+2z+1 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

หาค่า z

$$z=\sqrt{2}-1\approx 0.414213562$$

$$z=-\sqrt{2}-1\approx -2.414213562$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$z^{2}+2z-1=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, 2 แทน b และ -1 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง 2

$$z=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -1

$$z=\frac{-2±\sqrt{4+4}}{2}$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 4

$$z=\frac{-2±\sqrt{8}}{2}$$

หารากที่สองของ 8

$$z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2 ไปยัง 2\sqrt{2}

$$z=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$$

หาร -2+2\sqrt{2} ด้วย 2

$$z=\sqrt{2}-1$$

ตอนนี้ แก้สมการ z=\frac{-2±2\sqrt{2}}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{2} จาก -2

$$z=\frac{-2\sqrt{2}-2}{2}$$

หาร -2-2\sqrt{2} ด้วย 2

$$z=-\sqrt{2}-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$z^{2}+2z-1=0$$

เพิ่ม 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$z^{2}+2z-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$z^{2}+2z=-\left(-1\right)$$

ลบ -1 จาก 0

$$z^{2}+2z=1$$

หาร 2 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ 1 จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ 1 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$z^{2}+2z+1^{2}=1+1^{2}$$

ยกกำลังสอง 1

$$z^{2}+2z+1=1+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 1

$$z^{2}+2z+1=2$$

ตัวประกอบz^{2}+2z+1 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(z+1\right)^{2}=2$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$z+1=\sqrt{2} z+1=-\sqrt{2}$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$z=\sqrt{2}-1 z=-\sqrt{2}-1$$