แก้โจทย์ z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

หาค่า x

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย y^{2}+1

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ z ด้วย y^{2}+1

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ xy ด้วย y^{2}+1

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

ลบ e^{y} จากทั้งสองด้าน

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี x

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

หารทั้งสองข้างด้วย y^{3}+y

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

หารด้วย y^{3}+y เลิกทำการคูณด้วย y^{3}+y

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

หาร zy^{2}+z-e^{y} ด้วย y^{3}+y

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$