แก้โจทย์ y(xy+2x^2y^2)dx+2(xy-x^2y^2)dy=0

$$y ( x y + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) d x + 2 ( x y - x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) d y = 0$$

หาค่า d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=0\text{ or }\left(y=-\frac{x+2}{2x\left(x-1\right)}\text{ and }x\neq 1\text{ and }x\neq 0\right)\text{ or }y=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย xy+2x^{2}y^{2}

$$\left(xy^{2}+2x^{2}y^{3}\right)dx+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ xy^{2}+2x^{2}y^{3} ด้วย d

$$\left(xy^{2}d+2x^{2}y^{3}d\right)x+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ xy^{2}d+2x^{2}y^{3}d ด้วย x

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย xy-x^{2}y^{2}

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+\left(2xy-2x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2xy-2x^{2}y^{2} ด้วย d

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+\left(2xyd-2x^{2}y^{2}d\right)y=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2xyd-2x^{2}y^{2}d ด้วย y

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+2xdy^{2}-2x^{2}dy^{3}=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(y^{2}x^{2}+2y^{3}x^{3}+2xy^{2}-2x^{2}y^{3}\right)d=0$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(2x^{3}y^{3}-2x^{2}y^{3}+x^{2}y^{2}+2xy^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย y^{2}x^{2}+2y^{3}x^{3}+2xy^{2}-2x^{2}y^{3}

$$d=0$$

หาค่า d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }\left(y=-\frac{x+2}{2x\left(x-1\right)}\text{ and }x\neq 1\text{ and }x\neq 0\right)\text{ or }y=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y ด้วย xy+2x^{2}y^{2}

$$\left(xy^{2}+2x^{2}y^{3}\right)dx+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ xy^{2}+2x^{2}y^{3} ด้วย d

$$\left(xy^{2}d+2x^{2}y^{3}d\right)x+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ xy^{2}d+2x^{2}y^{3}d ด้วย x

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+2\left(xy-x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย xy-x^{2}y^{2}

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+\left(2xy-2x^{2}y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2xy-2x^{2}y^{2} ด้วย d

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+\left(2xyd-2x^{2}y^{2}d\right)y=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2xyd-2x^{2}y^{2}d ด้วย y

$$y^{2}dx^{2}+2y^{3}dx^{3}+2xdy^{2}-2x^{2}dy^{3}=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(y^{2}x^{2}+2y^{3}x^{3}+2xy^{2}-2x^{2}y^{3}\right)d=0$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(2x^{3}y^{3}-2x^{2}y^{3}+x^{2}y^{2}+2xy^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย y^{2}x^{2}+2y^{3}x^{3}+2xy^{2}-2x^{2}y^{3}

$$d=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{4y^{2}-20y+1}+2y-1}{4y}\text{; }x=\frac{-\sqrt{4y^{2}-20y+1}+2y-1}{4y}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\text{ or }y=0\end{matrix}\right.$$

หาค่า x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{4y^{2}-20y+1}+2y-1}{4y}\text{; }x=\frac{-\sqrt{4y^{2}-20y+1}+2y-1}{4y}\text{, }&\left(y\neq 0\text{ and }y\leq \frac{5}{2}-\sqrt{6}\right)\text{ or }y\geq \sqrt{6}+\frac{5}{2}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\text{ or }y=0\end{matrix}\right.$$