แก้โจทย์ y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

หาค่า y

$$y=2$$

$$y=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ แยกตัวประกอบ y^{2}-17y+30 โดยใช้สูตร y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-17 ab=30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 30

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -17

$$a=-15 b=-2$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบ \left(y+a\right)\left(y+b\right) ใหม่โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ y-15=0 และ y-2=0

$$y=15 y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก y^{2}+ay+by+30 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 30

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -17

$$a=-15 b=-2$$

เขียน y^{2}-17y+30 ใหม่เป็น \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

แยกตัวประกอบ y ในกลุ่มแรกและ -2 ในกลุ่มที่สอง

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม y-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ y-15=0 และ y-2=0

$$y=15 y=2$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$y^{2}-17y+30=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -17 แทน b และ 30 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

ยกกำลังสอง -17

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 30

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

เพิ่ม 289 ไปยัง -120

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

หารากที่สองของ 169

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

ตรงข้ามกับ -17 คือ 17

$$y=\frac{17±13}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{17±13}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 17 ไปยัง 13

$$y=\frac{30}{2}$$

หาร 30 ด้วย 2

$$y=15$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{17±13}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 13 จาก 17

$$y=\frac{4}{2}$$

หาร 4 ด้วย 2

$$y=2$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$y=15 y=2$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$y^{2}-17y+30=0$$

ลบ 30 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

ลบ 30 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$y^{2}-17y=-30$$

หาร -17 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{17}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{17}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{17}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

เพิ่ม -30 ไปยัง \frac{289}{4}

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

ตัวประกอบ y^{2}-17y+\frac{289}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

เพิ่ม \frac{17}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=15 y=2$$