แก้โจทย์ y=3x+3text{en}y=x-2

$$y = 3 x + 3 \text { en } y = x - 2$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-3x=3,y-x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-3x=3$$

เพิ่ม 3x ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=3x+3$$

ทดแทน 3+3x สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-x=-2

$$3x+3-x=-2$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -x

$$2x+3=-2$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{5}{2} สำหรับ x ใน y=3x+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=3\left(-\frac{5}{2}\right)+3$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{5}{2}

$$y=-\frac{15}{2}+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -\frac{15}{2}

$$y=-\frac{9}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-3x=3,y-x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{2}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$y-3x=3$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$y-x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-3x=3,y-x=-2$$

ลบ y-x=-2 จาก y-3x=3 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-3x+x=3+2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-3x+x=3+2$$

เพิ่ม -3x ไปยัง x

$$-2x=3+2$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 2

$$-2x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{5}{2}$$

ทดแทน -\frac{5}{2} สำหรับ x ใน y-x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-\left(-\frac{5}{2}\right)=-2$$

คูณ -1 ด้วย -\frac{5}{2}

$$y+\frac{5}{2}=-2$$

ลบ \frac{5}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{9}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-\frac{9}{2},x=-\frac{5}{2}$$