แก้โจทย์ y=-a(x+b)^2+c

$$y = - a ( x + b ) ^ { 2 } + c$$

หาค่า a (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{c-y}{\left(x+b\right)^{2}}\text{, }&x\neq -b\\a\in \mathrm{C}\text{, }&y=c\text{ and }x=-b\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} เพื่อขยาย \left(x+b\right)^{2}

$$y=\left(-a\right)\left(x^{2}+2xb+b^{2}\right)+c$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -a ด้วย x^{2}+2xb+b^{2}

$$y=\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}+c$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}+c=y$$

ลบ c จากทั้งสองด้าน

$$\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}=y-c$$

คูณ 2 และ -1 เพื่อรับ -2

$$-ax^{2}-2axb-ab^{2}=y-c$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี a

$$\left(-x^{2}-2xb-b^{2}\right)a=y-c$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(-x^{2}-2bx-b^{2}\right)a=y-c$$

หารทั้งสองข้างด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$\frac{\left(-x^{2}-2bx-b^{2}\right)a}{-x^{2}-2bx-b^{2}}=\frac{y-c}{-x^{2}-2bx-b^{2}}$$

หารด้วย -x^{2}-2bx-b^{2} เลิกทำการคูณด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$a=\frac{y-c}{-x^{2}-2bx-b^{2}}$$

หาร y-c ด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$a=-\frac{y-c}{\left(x+b\right)^{2}}$$

หาค่า a

$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{c-y}{\left(x+b\right)^{2}}\text{, }&x\neq -b\\a\in \mathrm{R}\text{, }&y=c\text{ and }x=-b\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(p+q\right)^{2}=p^{2}+2pq+q^{2} เพื่อขยาย \left(x+b\right)^{2}

$$y=\left(-a\right)\left(x^{2}+2xb+b^{2}\right)+c$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -a ด้วย x^{2}+2xb+b^{2}

$$y=\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}+c$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}+c=y$$

ลบ c จากทั้งสองด้าน

$$\left(-a\right)x^{2}+2\left(-a\right)xb+\left(-a\right)b^{2}=y-c$$

คูณ 2 และ -1 เพื่อรับ -2

$$-ax^{2}-2axb-ab^{2}=y-c$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี a

$$\left(-x^{2}-2xb-b^{2}\right)a=y-c$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(-x^{2}-2bx-b^{2}\right)a=y-c$$

หารทั้งสองข้างด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$\frac{\left(-x^{2}-2bx-b^{2}\right)a}{-x^{2}-2bx-b^{2}}=\frac{y-c}{-x^{2}-2bx-b^{2}}$$

หารด้วย -x^{2}-2bx-b^{2} เลิกทำการคูณด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$a=\frac{y-c}{-x^{2}-2bx-b^{2}}$$

หาร y-c ด้วย -x^{2}-2bx-b^{2}

$$a=-\frac{y-c}{\left(x+b\right)^{2}}$$

หาค่า b (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}b=-x+ia^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y-c}\text{; }b=-x-ia^{-\frac{1}{2}}\sqrt{y-c}\text{, }&a\neq 0\\b\in \mathrm{C}\text{, }&y=c\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

หาค่า b

$$\left\{\begin{matrix}b=\frac{-\sqrt{a}x-\sqrt{c-y}}{\sqrt{a}}\text{; }b=\frac{-\sqrt{a}x+\sqrt{c-y}}{\sqrt{a}}\text{, }&a>0\text{ and }y\leq c\\b=-\left(x+\sqrt{-\frac{y-c}{a}}\right)\text{; }b=-x+\sqrt{-\frac{y-c}{a}}\text{, }&y\geq c\text{ and }a<0\\b=-x\text{, }&y=c\text{ and }a\neq 0\\b\in \mathrm{R}\text{, }&y=c\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$