แก้โจทย์ y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

ลบ \frac{3x}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{3}{2}x$$

ทดแทน -\frac{3x}{2} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+\frac{1}{2}x=-2

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

เพิ่ม -\frac{3x}{2} ไปยัง \frac{x}{2}

$$-x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=-\frac{3}{2}x เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 2

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=-3,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม \frac{1}{2}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

ลบ y+\frac{1}{2}x=-2 จาก y+\frac{3}{2}x=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

เพิ่ม \frac{3x}{2} ไปยัง -\frac{x}{2}

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y+\frac{1}{2}x=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 2

$$y+1=-2$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=-3,x=2$$