แก้โจทย์ y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

หาค่า y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=60$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{1}{3}x$$

ทดแทน \frac{x}{3} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y+3x=60

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยัง 3x

$$\frac{10}{3}x=60$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{10}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ x ใน y=\frac{1}{3}x เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 18

$$y=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=18$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=60$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=6,x=18$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ \frac{1}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3x ไปทั้งสองด้าน

$$y+3x=60$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

ลบ y+3x=60 จาก y-\frac{1}{3}x=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

เพิ่ม -\frac{x}{3} ไปยัง -3x

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{10}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ x ใน y+3x=60 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y+3\times 18=60$$

คูณ 3 ด้วย 18

$$y+54=60$$

ลบ 54 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=18$$