แก้โจทย์ x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

หาค่า x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3.886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0.386000936$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

พิจารณา \left(2x-3\right)\left(2x+3\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้ ยกกำลังสอง 3

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

ขยาย \left(2x\right)^{2}

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

ลบ \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} จากทั้งสองด้าน

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

แยกตัวประกอบ 4x^{2}-16x+15

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

เมื่อต้องการเพิ่มหรือลบนิพจน์ ให้ขยายเพื่อทำให้ตัวส่วนของนิพจน์เหล่านั้นเหมือนกัน คูณ x ด้วย \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

เนื่องจาก \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} และ \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} มีตัวส่วนเดียวกัน ให้ลบโดยการลบตัวเศษ

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

ทำการคูณใน x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

รวมพจน์ที่เหมือนกันใน 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับค่า \frac{3}{2},\frac{5}{2} เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \left(2x-5\right)\left(2x-3\right)

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 9 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 4 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=\frac{3}{2}$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 ด้วย 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 เพื่อรับ 2x^{2}-7x-3 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$2x^{2}-7x-3=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 2 สำหรับ a -7 สำหรับ b และ -3 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

แก้สมการ 2x^{2}-7x-3=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

เอาค่าที่ตัวแปรไม่สามารถเท่ากับได้ออก

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

ตัวแปร x ไม่สามารถเท่ากับ \frac{3}{2}

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$