แก้โจทย์ xu+yv=1,quadx+y+u+v=0

$$x u + y v = 1 , \quad x + y + u + v = 0$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

$$u\neq v$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ux+vy=1$$

ลบ vy จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ux=\left(-v\right)y+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย u

$$x=\frac{1}{u}\left(\left(-v\right)y+1\right)$$

คูณ \frac{1}{u} ด้วย -vy+1

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}$$

ทดแทน \frac{-vy+1}{u} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y+u+v=0

$$\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}+y+u+v=0$$

เพิ่ม -\frac{vy}{u} ไปยัง y

$$\frac{u-v}{u}y+\frac{1}{u}+u+v=0$$

เพิ่ม \frac{1}{u} ไปยัง u+v

$$\frac{u-v}{u}y+u+v+\frac{1}{u}=0$$

ลบ v+u+\frac{1}{u} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{u-v}{u}y=-u-v-\frac{1}{u}$$

หารทั้งสองข้างด้วย \frac{u-v}{u}

$$y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

ทดแทน -\frac{1+vu+u^{2}}{u-v} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)\left(-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\right)+\frac{1}{u}$$

คูณ -\frac{v}{u} ด้วย -\frac{1+vu+u^{2}}{u-v}

$$x=\frac{v\left(u^{2}+uv+1\right)}{u\left(u-v\right)}+\frac{1}{u}$$

เพิ่ม \frac{1}{u} ไปยัง \frac{v\left(1+vu+u^{2}\right)}{u\left(u-v\right)}

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}&-\frac{v}{u-v}\\-\frac{1}{u-v}&\frac{u}{u-v}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}+\left(-\frac{v}{u-v}\right)\left(-\left(u+v\right)\right)\\-\frac{1}{u-v}+\frac{u}{u-v}\left(-\left(u+v\right)\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}\\-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

เพื่อทำให้ ux และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย u

$$ux+vy=1,ux+uy+u\left(u+v\right)=0$$

ลบ ux+uy+u\left(u+v\right)=0 จาก ux+vy=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ux+\left(-u\right)x+vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

เพิ่ม ux ไปยัง -ux ตัดพจน์ ux และ -ux ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

เพิ่ม vy ไปยัง -uy

$$\left(v-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

เพิ่ม u\left(u+v\right) ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(v-u\right)y=u\left(u+v\right)+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย v-u

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

ทดแทน \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} สำหรับ y ใน x+y+u+v=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}+u+v=0$$

เพิ่ม \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} ไปยัง u+v

$$x+\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}=0$$

ลบ \frac{v^{2}+vu+1}{v-u} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u},y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$