แก้โจทย์ xdx+ydy+(x^2+y^2)dy=0

$$x d x + y d y + ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) d y = 0$$

หาค่า d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&y=-1\text{ or }x=iy\text{ or }x=-iy\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$x^{2}d+ydy+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0$$

คูณ y และ y เพื่อรับ y^{2}

$$x^{2}d+y^{2}d+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+y^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+y^{2}d+\left(x^{2}d+y^{2}d\right)y=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}d+y^{2}d ด้วย y

$$x^{2}d+y^{2}d+x^{2}dy+dy^{3}=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(x^{2}+y^{2}+x^{2}y+y^{3}\right)d=0$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(x^{2}+y^{3}+y^{2}+yx^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย x^{2}+y^{2}+x^{2}y+y^{3}

$$d=0$$

หาค่า d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&\left(y=0\text{ and }x=0\right)\text{ or }y=-1\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$x^{2}d+ydy+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0$$

คูณ y และ y เพื่อรับ y^{2}

$$x^{2}d+y^{2}d+\left(x^{2}+y^{2}\right)dy=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+y^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+y^{2}d+\left(x^{2}d+y^{2}d\right)y=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}d+y^{2}d ด้วย y

$$x^{2}d+y^{2}d+x^{2}dy+dy^{3}=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(x^{2}+y^{2}+x^{2}y+y^{3}\right)d=0$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(x^{2}+y^{3}+y^{2}+yx^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย x^{2}+y^{2}+x^{2}y+y^{3}

$$d=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-iy\text{; }x=iy\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\text{ or }y=-1\end{matrix}\right.$$

หาค่า x

$$\left\{\begin{matrix}x=0\text{, }&y=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\text{ or }y=-1\end{matrix}\right.$$