แก้โจทย์ x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

หาค่า x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=y+5$$

ทดแทน y+5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -4x+5y=7

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

คูณ -4 ด้วย y+5

$$-4y-20+5y=7$$

เพิ่ม -4y ไปยัง 5y

$$y-20=7$$

เพิ่ม 20 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=27$$

ทดแทน 27 สำหรับ y ใน x=y+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=27+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง 27

$$x=32$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=32,y=27$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=32,y=27$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

เพื่อทำให้ x และ -4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

ลบ -4x+5y=7 จาก -4x+4y=-20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4y-5y=-20-7$$

เพิ่ม 4y ไปยัง -5y

$$-y=-20-7$$

เพิ่ม -20 ไปยัง -7

$$-y=-27$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=27$$

ทดแทน 27 สำหรับ y ใน -4x+5y=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-4x+5\times 27=7$$

คูณ 5 ด้วย 27

$$-4x+135=7$$

ลบ 135 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4x=-128$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$x=32$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=32,y=27$$