แก้โจทย์ x(1+y^2)dx-y(1+x^2)dy=0

$$x ( 1 + y ^ { 2 } ) d x - y ( 1 + x ^ { 2 } ) d y = 0$$

หาค่า d (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{C}\text{, }&x=-y\text{ or }x=y\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$x^{2}\left(1+y^{2}\right)d-y\left(1+x^{2}\right)dy=0$$

คูณ y และ y เพื่อรับ y^{2}

$$x^{2}\left(1+y^{2}\right)d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2} ด้วย 1+y^{2}

$$\left(x^{2}+x^{2}y^{2}\right)d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+x^{2}y^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y^{2} ด้วย 1+x^{2}

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-\left(y^{2}+y^{2}x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y^{2}+y^{2}x^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-\left(y^{2}d+y^{2}x^{2}d\right)=0$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y^{2}d+y^{2}x^{2}d ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-y^{2}d-y^{2}x^{2}d=0$$

รวม x^{2}y^{2}d และ -y^{2}x^{2}d เพื่อให้ได้รับ 0

$$x^{2}d-y^{2}d=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(x^{2}-y^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย x^{2}-y^{2}

$$d=0$$

หาค่า d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&|x|=|y|\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

คูณ x และ x เพื่อรับ x^{2}

$$x^{2}\left(1+y^{2}\right)d-y\left(1+x^{2}\right)dy=0$$

คูณ y และ y เพื่อรับ y^{2}

$$x^{2}\left(1+y^{2}\right)d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2} ด้วย 1+y^{2}

$$\left(x^{2}+x^{2}y^{2}\right)d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+x^{2}y^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-y^{2}\left(1+x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y^{2} ด้วย 1+x^{2}

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-\left(y^{2}+y^{2}x^{2}\right)d=0$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ y^{2}+y^{2}x^{2} ด้วย d

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-\left(y^{2}d+y^{2}x^{2}d\right)=0$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ y^{2}d+y^{2}x^{2}d ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$x^{2}d+x^{2}y^{2}d-y^{2}d-y^{2}x^{2}d=0$$

รวม x^{2}y^{2}d และ -y^{2}x^{2}d เพื่อให้ได้รับ 0

$$x^{2}d-y^{2}d=0$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี d

$$\left(x^{2}-y^{2}\right)d=0$$

หาร 0 ด้วย x^{2}-y^{2}

$$d=0$$

หาค่า x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-y\text{; }x=y\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$

หาค่า x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-y\text{; }x=y\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$