แก้โจทย์ x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

หาค่า x

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 84 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 ด้วย x-2 เพื่อรับ x^{3}-2x^{2}-29x-42 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -42 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-2x^{2}-29x-42 ด้วย x+2 เพื่อรับ x^{2}-4x-21 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}-4x-21=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -4 สำหรับ b และ -21 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{4±10}{2}$$

แก้สมการ x^{2}-4x-21=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-3 x=7$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$