แก้โจทย์ x^4+x^2+x+1=(x^2+A)(x^2-1)+Bx+C

$$x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + x + 1 = ( x ^ { 2 } + A ) ( x ^ { 2 } - 1 ) + B x + C$$

หาค่า A (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&x\neq -1\text{ and }x\neq 1\\A\in \mathrm{C}\text{, }&\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\text{ or }\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+A ด้วย x^{2}-1

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ลบ Bx จากทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ลบ C จากทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี A

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย x^{2}-1

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

หารด้วย x^{2}-1 เลิกทำการคูณด้วย x^{2}-1

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

หาค่า B (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{C}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+A ด้วย x^{2}-1

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ลบ Ax^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

เพิ่ม A ไปทั้งสองด้าน

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ลบ C จากทั้งสองด้าน

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

เรียงลำดับพจน์ใหม่

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย x

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

หารด้วย x เลิกทำการคูณด้วย x

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

หาค่า A

$$\left\{\begin{matrix}A=-\frac{-2x^{2}+Bx-x+C-1}{x^{2}-1}\text{, }&|x|\neq 1\\A\in \mathrm{R}\text{, }&\left(B=C-2\text{ and }x=-1\right)\text{ or }\left(B=4-C\text{ and }x=1\right)\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+A ด้วย x^{2}-1

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ลบ Bx จากทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+C=2x^{2}+x+1-Bx$$

ลบ C จากทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

รวมทั้งหมดพจน์ที่มี A

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}+x+1-Bx-C$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$\left(x^{2}-1\right)A=2x^{2}-Bx+x-C+1$$

หารทั้งสองข้างด้วย x^{2}-1

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)A}{x^{2}-1}=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

หารด้วย x^{2}-1 เลิกทำการคูณด้วย x^{2}-1

$$A=\frac{2x^{2}-Bx+x-C+1}{x^{2}-1}$$

หาค่า B

$$\left\{\begin{matrix}B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}\text{, }&x\neq 0\\B\in \mathrm{R}\text{, }&A=C-1\text{ and }x=0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนการแก้สมการลิเนียร์

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ x^{2}+A ด้วย x^{2}-1

$$x^{4}+x^{2}+x+1=x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$x^{4}-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{4}+x^{2}+x+1-x^{4}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$-x^{2}+Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$Ax^{2}-A+Bx+C=x^{2}+x+1+x^{2}$$

รวม x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 2x^{2}

$$Ax^{2}-A+Bx+C=2x^{2}+x+1$$

ลบ Ax^{2} จากทั้งสองด้าน

$$-A+Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}$$

เพิ่ม A ไปทั้งสองด้าน

$$Bx+C=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A$$

ลบ C จากทั้งสองด้าน

$$Bx=2x^{2}+x+1-Ax^{2}+A-C$$

เรียงลำดับพจน์ใหม่

$$Bx=-Ax^{2}+2x^{2}+x+A-C+1$$

สมการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน

$$xB=1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย x

$$\frac{xB}{x}=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$

หารด้วย x เลิกทำการคูณด้วย x

$$B=\frac{1-C+A+x+2x^{2}-Ax^{2}}{x}$$