แก้โจทย์ x^3=512

$$x ^ { 3 } = 512$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=-4\sqrt{3}i-4\approx -4-6.92820323i$$

$$x=8$$

$$x=-4+4\sqrt{3}i\approx -4+6.92820323i$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ 512 จากทั้งสองด้าน

$$x^{3}-512=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -512 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=8$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-512 ด้วย x-8 เพื่อรับ x^{2}+8x+64 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}+8x+64=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 8 สำหรับ b และ 64 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

แก้สมการ x^{2}+8x+64=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=8 x=-4i\sqrt{3}-4 x=-4+4i\sqrt{3}$$

หาค่า x

$$x=8$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ลบ 512 จากทั้งสองด้าน

$$x^{3}-512=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -512 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±512,±256,±128,±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$x=8$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ x-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร x^{3}-512 ด้วย x-8 เพื่อรับ x^{2}+8x+64 แก้สมการที่ผลลัพธ์เท่ากับ 0

$$x^{2}+8x+64=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 8 สำหรับ b และ 64 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 1\times 64}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$x=\frac{-8±\sqrt{-192}}{2}$$

เนื่องจากไม่ได้กำหนดรากที่สองของจำนวนลบในเขตข้อมูลจำนวนจริง จึงไม่มีผลเฉลยอยู่

$$x\in \emptyset$$

แสดงรายการโซลูชันที่พบทั้งหมด

$$x=8$$