แก้โจทย์ x^2-41x+400=0

$$x ^ { 2 } - 41 x + 400 = 0$$

หาค่า x

$$x=16$$

$$x=25$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย x^{2}-41x+400 โดยใช้สูตร x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-41 ab=400$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 400

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -41

$$a=-25 b=-16$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(x+a\right)\left(x+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-25=0 และ x-16=0

$$x=25 x=16$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น x^{2}+ax+bx+400 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 400

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -41

$$a=-25 b=-16$$

เขียน x^{2}-41x+400 ใหม่เป็น \left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right)

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ -16 ใน

$$x\left(x-25\right)-16\left(x-25\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-25 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-25=0 และ x-16=0

$$x=25 x=16$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-41x+400=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -41 แทน b และ 400 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

ยกกำลังสอง -41

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 400

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

เพิ่ม 1681 ไปยัง -1600

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

หารากที่สองของ 81

$$x=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

ตรงข้ามกับ -41 คือ 41

$$x=\frac{41±9}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{41±9}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 41 ไปยัง 9

$$x=\frac{50}{2}$$

หาร 50 ด้วย 2

$$x=25$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{41±9}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 9 จาก 41

$$x=\frac{32}{2}$$

หาร 32 ด้วย 2

$$x=16$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=25 x=16$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}-41x+400=0$$

ลบ 400 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}-41x+400-400=-400$$

ลบ 400 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}-41x=-400$$

หาร -41 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{41}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{41}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{41}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

เพิ่ม -400 ไปยัง \frac{1681}{4}

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

ตัวประกอบx^{2}-41x+\frac{1681}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

เพิ่ม \frac{41}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=25 x=16$$