แก้โจทย์ x^2-2sqrt{3}x+8=0

$$x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x + 8 = 0$$

หาค่า x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i\approx 1.732050808+2.236067977i$$

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}\approx 1.732050808-2.236067977i$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -2\sqrt{3} แทน b และ 8 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

ยกกำลังสอง -2\sqrt{3}

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-4\times 8}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 8

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{12-32}}{2}$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -32

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±\sqrt{-20}}{2}$$

หารากที่สองของ -20

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{3}\right)±2\sqrt{5}i}{2}$$

ตรงข้ามกับ -2\sqrt{3} คือ 2\sqrt{3}

$$x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 2\sqrt{3} ไปยัง 2i\sqrt{5}

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{5}i}{2}$$

หาร 2\sqrt{3}+2i\sqrt{5} ด้วย 2

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{5}i}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2i\sqrt{5} จาก 2\sqrt{3}

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2\sqrt{3}}{2}$$

หาร 2\sqrt{3}-2i\sqrt{5} ด้วย 2

$$x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+8-8=-8$$

ลบ 8 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x=-8$$

หาร -2\sqrt{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\sqrt{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\sqrt{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}=-8+\left(-\sqrt{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\sqrt{3}

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-8+3$$

เพิ่ม -8 ไปยัง 3

$$x^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3=-5$$

ตัวประกอบx^{2}+\left(-2\sqrt{3}\right)x+3 โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}=-5$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\sqrt{3}\right)^{2}}=\sqrt{-5}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\sqrt{3}=\sqrt{5}i x-\sqrt{3}=-\sqrt{5}i$$

เพิ่ม \sqrt{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\sqrt{3}+\sqrt{5}i x=-\sqrt{5}i+\sqrt{3}$$