แก้โจทย์ x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

หาค่า x

$$x=6$$

$$x=7$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ แยกตัวประกอบ x^{2}-13x+42 โดยใช้สูตร x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-13 ab=42$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 42

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -13

$$a=-7 b=-6$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบ \left(x+a\right)\left(x+b\right) ใหม่โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-7=0 และ x-6=0

$$x=7 x=6$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้ไขสมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ต้องมีการเขียนใหม่ด้านซ้ายมืออีกครั้งเนื่องจาก x^{2}+ax+bx+42 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเหมือนกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 42

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

ผลเฉลยเป็นคู่ที่ให้ผลรวม -13

$$a=-7 b=-6$$

เขียน x^{2}-13x+42 ใหม่เป็น \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ -6 ในกลุ่มที่สอง

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยสมการ ให้แก้ x-7=0 และ x-6=0

$$x=7 x=6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$x^{2}-13x+42=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -13 แทน b และ 42 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

ยกกำลังสอง -13

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 42

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

เพิ่ม 169 ไปยัง -168

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

หารากที่สองของ 1

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

ตรงข้ามกับ -13 คือ 13

$$x=\frac{13±1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{13±1}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 13 ไปยัง 1

$$x=\frac{14}{2}$$

หาร 14 ด้วย 2

$$x=7$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{13±1}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1 จาก 13

$$x=\frac{12}{2}$$

หาร 12 ด้วย 2

$$x=6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=7 x=6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$x^{2}-13x+42=0$$

ลบ 42 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

ลบ 42 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$x^{2}-13x=-42$$

หาร -13 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{13}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{13}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{13}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

เพิ่ม -42 ไปยัง \frac{169}{4}

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบ x^{2}-13x+\frac{169}{4} โดยทั่วไป เมื่อ x^{2}+bx+c เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{13}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=7 x=6$$