แก้โจทย์ x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

หาค่า x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{2}-2x\right)^{2}

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้นเข้าด้วยกัน บวก 2 กับ 1 ให้ได้ 3

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

รวม x^{2} และ 4x^{2} เพื่อให้ได้รับ 5x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เพิ่ม 10 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 11

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง x^{2}-2x-3

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

รวม x^{2} และ -2x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

รวม 2x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

เพิ่ม 11 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 20

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

รวม 5x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 6x^{2}

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ 14x จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

เพิ่ม 4x^{3} ไปทั้งสองด้าน

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

รวม -4x^{3} และ 4x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-20-14x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$3x^{2}-10-7x=0$$

จัดเรียงพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน วางตามลำดับจากดีกรีที่มากที่สุดไปหาน้อยที่สุด

$$3x^{2}-7x-10=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 3x^{2}+ax+bx-10 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -30

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -7

$$a=-10 b=3$$

เขียน 3x^{2}-7x-10 ใหม่เป็น \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

แยกตัวประกอบ x ใน 3x^{2}-10x

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3x-10 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข 3x-10=0 และ x+1=0

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{2}-2x\right)^{2}

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้นเข้าด้วยกัน บวก 2 กับ 1 ให้ได้ 3

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

รวม x^{2} และ 4x^{2} เพื่อให้ได้รับ 5x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เพิ่ม 10 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 11

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง x^{2}-2x-3

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

รวม x^{2} และ -2x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

รวม 2x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

เพิ่ม 11 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 20

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ 20 จากทั้งสองด้าน

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

รวม 5x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 6x^{2}

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ 14x จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

เพิ่ม 4x^{3} ไปทั้งสองด้าน

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

รวม -4x^{3} และ 4x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-20-14x=0$$

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$6x^{2}-14x-20=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 6 แทน a, -14 แทน b และ -20 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

ยกกำลังสอง -14

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -4 ด้วย 6

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

คูณ -24 ด้วย -20

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

เพิ่ม 196 ไปยัง 480

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

หารากที่สองของ 676

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

ตรงข้ามกับ -14 คือ 14

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$x=\frac{14±26}{12}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±26}{12} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 14 ไปยัง 26

$$x=\frac{40}{12}$$

ทำเศษส่วน \frac{40}{12} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 4

$$x=\frac{10}{3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{14±26}{12} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 26 จาก 14

$$x=-\frac{12}{12}$$

หาร -12 ด้วย 12

$$x=-1$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x^{2}-2x\right)^{2}

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการยกกำลังจำนวนยกกำลังอื่น ให้คูณเลขชี้กำลังด้วยกัน คูณ 2 กับ 2 ให้ได้ 4

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน บวกเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้นเข้าด้วยกัน บวก 2 กับ 1 ให้ได้ 3

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

รวม x^{2} และ 4x^{2} เพื่อให้ได้รับ 5x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

เพิ่ม 10 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 11

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง x^{2}-2x-3

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

รวม x^{2} และ -2x^{2} เพื่อให้ได้รับ -x^{2}

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

รวม 2x และ 12x เพื่อให้ได้รับ 14x

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

เพิ่ม 11 และ 9 เพื่อให้ได้รับ 20

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

เพิ่ม x^{2} ไปทั้งสองด้าน

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

รวม 5x^{2} และ x^{2} เพื่อให้ได้รับ 6x^{2}

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ 14x จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

ลบ x^{4} จากทั้งสองด้าน

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

รวม x^{4} และ -x^{4} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

เพิ่ม 4x^{3} ไปทั้งสองด้าน

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

รวม -4x^{3} และ 4x^{3} เพื่อให้ได้รับ 0

$$6x^{2}-14x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

หารด้วย 6 เลิกทำการคูณด้วย 6

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{-14}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

ทำเศษส่วน \frac{20}{6} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

หาร -\frac{7}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{7}{6} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{7}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{7}{6} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

เพิ่ม \frac{10}{3} ไปยัง \frac{49}{36} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

เพิ่ม \frac{7}{6} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$