แก้โจทย์ x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-2y=12$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=12$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y+12$$

ทดแทน -2y+12 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 9x-2y=12

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

คูณ 9 ด้วย -2y+12

$$-18y+108-2y=12$$

เพิ่ม -18y ไปยัง -2y

$$-20y+108=12$$

ลบ 108 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-20y=-96$$

หารทั้งสองข้างด้วย -20

$$y=\frac{24}{5}$$

ทดแทน \frac{24}{5} สำหรับ y ใน x=-2y+12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

คูณ -2 ด้วย \frac{24}{5}

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

เพิ่ม 12 ไปยัง -\frac{48}{5}

$$x=\frac{12}{5}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-2y=12$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

สำหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถถูกเขียนขึ้นเป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$9x-2y=12$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

เพื่อทำให้ x และ 9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

ลบ 9x-2y=12 จาก 9x+18y=108 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

เพิ่ม 9x ไปยัง -9x ตัดพจน์ 9x และ -9x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$18y+2y=108-12$$

เพิ่ม 18y ไปยัง 2y

$$20y=108-12$$

เพิ่ม 108 ไปยัง -12

$$20y=96$$

หารทั้งสองข้างด้วย 20

$$y=\frac{24}{5}$$

ทดแทน \frac{24}{5} สำหรับ y ใน 9x-2y=12 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

คูณ -2 ด้วย \frac{24}{5}

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

เพิ่ม \frac{48}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x=\frac{108}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$x=\frac{12}{5}$$

ขณะนี้ได้แก้ไขระบบเรียบร้อยแล้ว

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$