แก้โจทย์ w^2-13w+42=0

$$w ^ { 2 } - 13 w + 42 = 0$$

หาค่า w

$$w=6$$

$$w=7$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย w^{2}-13w+42 โดยใช้สูตร w^{2}+\left(a+b\right)w+ab=\left(w+a\right)\left(w+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-13 ab=42$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 42

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -13

$$a=-7 b=-6$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(w+a\right)\left(w+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(w-7\right)\left(w-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข w-7=0 และ w-6=0

$$w=7 w=6$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น w^{2}+aw+bw+42 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบ a และ b เป็นค่าลบทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 42

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -13

$$a=-7 b=-6$$

เขียน w^{2}-13w+42 ใหม่เป็น \left(w^{2}-7w\right)+\left(-6w+42\right)

$$\left(w^{2}-7w\right)+\left(-6w+42\right)$$

แยกตัวประกอบ w ในกลุ่มแรกและ -6 ใน

$$w\left(w-7\right)-6\left(w-7\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม w-7 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(w-7\right)\left(w-6\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข w-7=0 และ w-6=0

$$w=7 w=6$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$w^{2}-13w+42=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -13 แทน b และ 42 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

ยกกำลังสอง -13

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย 42

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

เพิ่ม 169 ไปยัง -168

$$w=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

หารากที่สองของ 1

$$w=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

ตรงข้ามกับ -13 คือ 13

$$w=\frac{13±1}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ w=\frac{13±1}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 13 ไปยัง 1

$$w=\frac{14}{2}$$

หาร 14 ด้วย 2

$$w=7$$

ตอนนี้ แก้สมการ w=\frac{13±1}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 1 จาก 13

$$w=\frac{12}{2}$$

หาร 12 ด้วย 2

$$w=6$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$w=7 w=6$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$w^{2}-13w+42=0$$

ลบ 42 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$w^{2}-13w+42-42=-42$$

ลบ 42 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$w^{2}-13w=-42$$

หาร -13 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{13}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{13}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$w^{2}-13w+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{13}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$w^{2}-13w+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

เพิ่ม -42 ไปยัง \frac{169}{4}

$$w^{2}-13w+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

ตัวประกอบw^{2}-13w+\frac{169}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(w-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(w-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$w-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} w-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

เพิ่ม \frac{13}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$w=7 w=6$$