แก้โจทย์ n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

หาค่า n

$$n=-14$$

$$n=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย n^{2}-n-210 โดยใช้สูตร n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=-210$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -210

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-15 b=14$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(n+a\right)\left(n+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-15=0 และ n+14=0

$$n=15 n=-14$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น n^{2}+an+bn-210 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -210

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-15 b=14$$

เขียน n^{2}-n-210 ใหม่เป็น \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 14 ใน

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-15=0 และ n+14=0

$$n=15 n=-14$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$n^{2}-n-210=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -1 แทน b และ -210 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -210

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 840

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

หารากที่สองของ 841

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$n=\frac{1±29}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{1±29}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง 29

$$n=\frac{30}{2}$$

หาร 30 ด้วย 2

$$n=15$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{1±29}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 29 จาก 1

$$n=-\frac{28}{2}$$

หาร -28 ด้วย 2

$$n=-14$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=15 n=-14$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$n^{2}-n-210=0$$

เพิ่ม 210 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

ลบ -210 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

ลบ -210 จาก 0

$$n^{2}-n=210$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 210 ไปยัง \frac{1}{4}

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

ตัวประกอบn^{2}-n+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=15 n=-14$$