แก้โจทย์ n^2-n=240

$$n ^ { 2 } - n = 240$$

หาค่า n

$$n=-15$$

$$n=16$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

ลบ 240 จากทั้งสองด้าน

$$n^{2}-n-240=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย n^{2}-n-240 โดยใช้สูตร n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=-240$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -240

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-16 b=15$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(n+a\right)\left(n+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-16=0 และ n+15=0

$$n=16 n=-15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 240 จากทั้งสองด้าน

$$n^{2}-n-240=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น n^{2}+an+bn-240 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -240

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -1

$$a=-16 b=15$$

เขียน n^{2}-n-240 ใหม่เป็น \left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)

$$\left(n^{2}-16n\right)+\left(15n-240\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 15 ใน

$$n\left(n-16\right)+15\left(n-16\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-16 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-16\right)\left(n+15\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-16=0 และ n+15=0

$$n=16 n=-15$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$n^{2}-n=240$$

ลบ 240 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n^{2}-n-240=240-240$$

ลบ 240 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$n^{2}-n-240=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -1 แทน b และ -240 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -240

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 960

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

หารากที่สองของ 961

$$n=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

ตรงข้ามกับ -1 คือ 1

$$n=\frac{1±31}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{1±31}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 1 ไปยัง 31

$$n=\frac{32}{2}$$

หาร 32 ด้วย 2

$$n=16$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{1±31}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 31 จาก 1

$$n=-\frac{30}{2}$$

หาร -30 ด้วย 2

$$n=-15$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=16 n=-15$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$n^{2}-n=240$$

หาร -1 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{1}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{1}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

เพิ่ม 240 ไปยัง \frac{1}{4}

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

ตัวประกอบn^{2}-n+\frac{1}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

เพิ่ม \frac{1}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=16 n=-15$$