แก้โจทย์ n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

หาค่า n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

คำนวณ 2009 กำลังของ 2 และรับ 4036081

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -4019 สำหรับ b และ 4036081 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

แก้สมการ n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็น ≤0 ค่าใดค่าหนึ่งของ n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} และ n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ต้องเป็น ≥0 และค่าอื่นๆ ต้องเป็น ≤0 พิจารณากรณีเมื่อ n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 และ n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

เป็นเท็จสำหรับ n ใดๆ

$$n\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 และ n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right]

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$