แก้โจทย์ n^2-3n=130

$$n ^ { 2 } - 3 n = 130$$

หาค่า n

$$n=-10$$

$$n=13$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

ลบ 130 จากทั้งสองด้าน

$$n^{2}-3n-130=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย n^{2}-3n-130 โดยใช้สูตร n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-3 ab=-130$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -130

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -3

$$a=-13 b=10$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(n+a\right)\left(n+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(n-13\right)\left(n+10\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-13=0 และ n+10=0

$$n=13 n=-10$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

ลบ 130 จากทั้งสองด้าน

$$n^{2}-3n-130=0$$

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น n^{2}+an+bn-130 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-3 ab=1\left(-130\right)=-130$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -130

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -3

$$a=-13 b=10$$

เขียน n^{2}-3n-130 ใหม่เป็น \left(n^{2}-13n\right)+\left(10n-130\right)

$$\left(n^{2}-13n\right)+\left(10n-130\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 10 ใน

$$n\left(n-13\right)+10\left(n-13\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-13 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-13\right)\left(n+10\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-13=0 และ n+10=0

$$n=13 n=-10$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$n^{2}-3n=130$$

ลบ 130 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$n^{2}-3n-130=130-130$$

ลบ 130 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$n^{2}-3n-130=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -3 แทน b และ -130 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-130\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง -3

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-130\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -130

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+520}}{2}$$

เพิ่ม 9 ไปยัง 520

$$n=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{529}}{2}$$

หารากที่สองของ 529

$$n=\frac{-\left(-3\right)±23}{2}$$

ตรงข้ามกับ -3 คือ 3

$$n=\frac{3±23}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{3±23}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 3 ไปยัง 23

$$n=\frac{26}{2}$$

หาร 26 ด้วย 2

$$n=13$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{3±23}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 23 จาก 3

$$n=-\frac{20}{2}$$

หาร -20 ด้วย 2

$$n=-10$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=13 n=-10$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$n^{2}-3n=130$$

หาร -3 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{3}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-3n+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=130+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{3}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=130+\frac{9}{4}$$

เพิ่ม 130 ไปยัง \frac{9}{4}

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=\frac{529}{4}$$

ตัวประกอบn^{2}-3n+\frac{9}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{3}{2}=\frac{23}{2} n-\frac{3}{2}=-\frac{23}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=13 n=-10$$