แก้โจทย์ n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

หาค่า n

$$n=-4$$

$$n=15$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบ

เมื่อต้องการแก้สมการปัจจัย n^{2}-11n-60 โดยใช้สูตร n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=-60$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -60

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-15 b=4$$

เขียนนิพจน์แยกตัวประกอบใหม่ \left(n+a\right)\left(n+b\right) โดยใช้ค่าที่ได้รับ

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-15=0 และ n+4=0

$$n=15 n=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น n^{2}+an+bn-60 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -60

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -11

$$a=-15 b=4$$

เขียน n^{2}-11n-60 ใหม่เป็น \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

แยกตัวประกอบ n ในกลุ่มแรกและ 4 ใน

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม n-15 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข n-15=0 และ n+4=0

$$n=15 n=-4$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$n^{2}-11n-60=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1 แทน a, -11 แทน b และ -60 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

ยกกำลังสอง -11

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

คูณ -4 ด้วย -60

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

เพิ่ม 121 ไปยัง 240

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

หารากที่สองของ 361

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

ตรงข้ามกับ -11 คือ 11

$$n=\frac{11±19}{2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{11±19}{2} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 11 ไปยัง 19

$$n=\frac{30}{2}$$

หาร 30 ด้วย 2

$$n=15$$

ตอนนี้ แก้สมการ n=\frac{11±19}{2} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 19 จาก 11

$$n=-\frac{8}{2}$$

หาร -8 ด้วย 2

$$n=-4$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$n=15 n=-4$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$n^{2}-11n-60=0$$

เพิ่ม 60 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

ลบ -60 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

ลบ -60 จาก 0

$$n^{2}-11n=60$$

หาร -11 สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{11}{2} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{11}{2} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

เพิ่ม 60 ไปยัง \frac{121}{4}

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

ตัวประกอบn^{2}-11n+\frac{121}{4} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

เพิ่ม \frac{11}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$n=15 n=-4$$