แก้โจทย์ f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -20 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 2 รากดังกล่าวคือ -\frac{5}{2} แยกตัวประกอบพหุนามโดยการหารด้วย 2x+5

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

พิจารณา x^{3}+3x^{2}-4 ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -4 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 รากดังกล่าวคือ -2 แยกตัวประกอบพหุนามโดยการหารด้วย x+2

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

พิจารณา x^{2}+x-2 แยกตัวประกอบนิพจน์โดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกนิพจน์จำเป็นต้องได้รับการเขียนใหม่เป็น x^{2}+ax+bx-2 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้ไข

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้าม เนื่องจาก a+b เป็นค่าบวกหมายเลขบวกมีค่าสัมบูรณ์มากเกินกว่าค่าลบ คู่ดังกล่าวเท่านั้นที่เป็นผลเฉลยระบบ

$$a=-1 b=2$$

เขียน x^{2}+x-2 ใหม่เป็น \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

แยกตัวประกอบ x ในกลุ่มแรกและ 2 ในกลุ่มที่สอง

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-1 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบสมบูรณ์ใหม่

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

หาค่า

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$