แก้โจทย์ f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

หาค่า

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{3}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{4}}{4}

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{2}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{3}}{3} คูณ 2 ด้วย \frac{t^{3}}{3}

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 1 โดยใช้ \int a\mathrm{d}t=at ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$