แก้โจทย์ f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

หาค่า

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{2}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{3}}{3}

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{2}}{2} คูณ -1 ด้วย \frac{t^{2}}{2}

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$x\left(x-1\right)$$