แก้โจทย์ f(x)=x/-x+x^2

$$f ( x ) = \frac { x } { - x + x ^ { 2 } }$$

หาค่า

$$\frac{1}{x-1}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลยสั้นๆ

แยกตัวประกอบนิพจน์ที่ยังไม่ได้แยกตัวประกอบ

$$\frac{x}{x\left(x-1\right)}$$

ตัด x ออกจากทั้งตัวเศษและตัวส่วน

$$\frac{1}{x-1}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$-\frac{1}{\left(x-1\right)^{2}}$$

ขั้นตอนที่ใช้กฎจากการพัฒนาสำหรับผลหาร

สำหรับสองฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของผลหารของทั้งสองฟังก์ชันคือ ตัวส่วนคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวเศษลบด้วยตัวเศษคูณด้วยอนุพันธ์ของตัวส่วน ทั้งหมดถูกหารด้วยตัวส่วนที่ยกกำลังสองแล้ว

$$\frac{\left(-x^{1}+x^{2}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{1})-x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x^{1}+x^{2})}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

อนุพันธ์ของพหุนามเป็นผลรวมของอนุพันธ์ของพจน์ในพหุนามนั้น อนุพันธ์ของพจน์คงตัวใดๆ คือ 0 อนุพันธ์ของ ax^{n} คือ nax^{n-1}

$$\frac{\left(-x^{1}+x^{2}\right)x^{1-1}-x^{1}\left(-x^{1-1}+2x^{2-1}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{\left(-x^{1}+x^{2}\right)x^{0}-x^{1}\left(-x^{0}+2x^{1}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

คูณ -x^{1}+x^{2} ด้วย x^{0}

$$\frac{-x^{1}x^{0}+x^{2}x^{0}-x^{1}\left(-x^{0}+2x^{1}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

คูณ x^{1} ด้วย -x^{0}+2x^{1}

$$\frac{-x^{1}x^{0}+x^{2}x^{0}-\left(x^{1}\left(-1\right)x^{0}+x^{1}\times 2x^{1}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

เมื่อต้องการคูณเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน เพิ่มเลขชี้กำลังของจำนวนเหล่านั้น

$$\frac{-x^{1}+x^{2}-\left(-x^{1}+2x^{1+1}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{-x^{1}+x^{2}-\left(-x^{1}+2x^{2}\right)}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

รวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$\frac{-x^{2}}{\left(-x^{1}+x^{2}\right)^{2}}$$

สำหรับพจน์ใดๆ ที่ t ให้ t^{1}=t

$$\frac{-x^{2}}{\left(-x+x^{2}\right)^{2}}$$