แก้โจทย์ f(t)=sint

$$f ( t ) = \sin t$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. t

$$\cos(t)$$

ขั้นตอนที่ใช้นิยามของอนุพันธ์

สำหรับฟังก์ชัน f\left(x\right), อนุพันธ์คือขีดจำกัดของ \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} เป็น h ไปที่ 0 ถ้าข้อจำกัดมีอยู่

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\sin(t))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h}\right)$$

ใช้สูตรผลรวมของไซน์

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(t)}{h}$$

แยกตัวประกอบ \sin(t)

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(t)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(t)\sin(h)}{h}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(t)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(t)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ t เป็นค่าคงที่เมื่อคำนวณขีดจำกัดเป็น h ไปที่ 0

$$\sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t} คือ 1

$$\sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t)$$

ในการหาค่าข้อจำกัด \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} ขั้นแรก คูณตัวเศษและตัวส่วนโดย \cos(h)+1

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

คูณ \cos(h)+1 ด้วย \cos(h)-1

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

ใช้เอกลักษณ์ของพีทาโกรัส

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

เขียนขีดจำกัดเขียนใหม่

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

ขีดจำกัด \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t} คือ 1

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

ใช้ข้อเท็จจริงที่ \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} เป็นแบบต่อเนื่องที่ 0

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

แทนที่ค่า 0 ลงในนิพจน์ \sin(t)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(t)

$$\cos(t)$$

หาค่า

$$\sin(t)$$