แก้โจทย์ ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ax+3y=15$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ax=-3y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย a

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{a} ด้วย -3y+15

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

ทดแทน \frac{3\left(5-y\right)}{a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+by=4d

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3\left(5-y\right)}{a}

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

เพิ่ม -\frac{9y}{a} ไปยัง by

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

ลบ \frac{45}{a} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย b-\frac{9}{a}

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ทดแทน \frac{4da-45}{ba-9} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

คูณ -\frac{3}{a} ด้วย \frac{4da-45}{ba-9}

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

เพิ่ม \frac{15}{a} ไปยัง -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เพื่อทำให้ ax และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย a

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

ลบ 3ax+aby=4ad จาก 3ax+9y=45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

เพิ่ม 3ax ไปยัง -3ax ตัดพจน์ 3ax และ -3ax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -aby

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9-ab

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

ทดแทน \frac{45-4ad}{9-ab} สำหรับ y ใน 3x+by=4d เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

คูณ b ด้วย \frac{45-4ad}{9-ab}

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

ลบ \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

หาค่า x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ax+3y=15$$

ลบ 3y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ax=-3y+15$$

หารทั้งสองข้างด้วย a

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

คูณ \frac{1}{a} ด้วย -3y+15

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

ทดแทน \frac{3\left(5-y\right)}{a} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+by=4d

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

คูณ 3 ด้วย \frac{3\left(5-y\right)}{a}

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

เพิ่ม -\frac{9y}{a} ไปยัง by

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

ลบ \frac{45}{a} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

หารทั้งสองข้างด้วย b-\frac{9}{a}

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ทดแทน \frac{4da-45}{ba-9} สำหรับ y ใน x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

คูณ -\frac{3}{a} ด้วย \frac{4da-45}{ba-9}

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

เพิ่ม \frac{15}{a} ไปยัง -\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

เพื่อทำให้ ax และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย a

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

ลบ 3ax+aby=4ad จาก 3ax+9y=45 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

เพิ่ม 3ax ไปยัง -3ax ตัดพจน์ 3ax และ -3ax ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

เพิ่ม 9y ไปยัง -aby

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9-ab

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

ทดแทน \frac{45-4ad}{9-ab} สำหรับ y ใน 3x+by=4d เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

คูณ b ด้วย \frac{45-4ad}{9-ab}

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

ลบ \frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$