แก้โจทย์ a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ ให้แก้สมการที่นิพจน์เท่ากับ 0

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -32 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$a=2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ a-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 ด้วย a-2 เพื่อรับ a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 16 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$a=2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ a-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 ด้วย a-2 เพื่อรับ a^{3}-2a^{2}+4a-8 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -8 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$a=2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ a-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร a^{3}-2a^{2}+4a-8 ด้วย a-2 เพื่อรับ a^{2}+4 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$a^{2}+4=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ 4 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

พหุนาม a^{2}+4 ไม่มีการแยกตัวประกอบเนื่องจากไม่มีรากตรรกยะ

$$a^{2}+4$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบโดยใช้รากที่ได้รับใหม่

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

หาค่า

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$