แก้โจทย์ a^4-20a^2+64

$$a ^ { 4 } - 20 a ^ { 2 } + 64$$

แยกตัวประกอบ

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

เมื่อต้องการแยกตัวประกอบนิพจน์ ให้แก้สมการที่นิพจน์เท่ากับ 0

$$a^{4}-20a^{2}+64=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ 64 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$a=2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ a-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร a^{4}-20a^{2}+64 ด้วย a-2 เพื่อรับ a^{3}+2a^{2}-16a-32 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$a^{3}+2a^{2}-16a-32=0$$

ตามทฤษฎีบทรากตรรกยะ รากตรรกยะทั้งหมดของพหุนามอยู่ในรูปแบบ \frac{p}{q} ที่ p หารพจน์ค่าคงที่ -32 และ q หารค่าสัมประสิทธิ์นำ 1 แสดงรายการผู้สมัคร \frac{p}{q} ทั้งหมด

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

ค้นหารากดังกล่าวหนึ่งรายการโดยลองใช้ค่าจำนวนเต็มทั้งหมด โดยเริ่มต้นจากค่าที่น้อยที่สุดตามค่าสัมบูรณ์ ถ้าไม่พบรากจำนวนเต็ม ให้ลองใช้เศษส่วน

$$a=-2$$

ตามทฤษฎีบทตัวประกอบ a-k เป็นตัวประกอบของพหุนามสำหรับแต่ละรากของ k หาร a^{3}+2a^{2}-16a-32 ด้วย a+2 เพื่อรับ a^{2}-16 เมื่อต้องการแยกตัวประกอบผลลัพธ์ ให้แก้ไขสมการที่มีค่าเท่ากับ 0

$$a^{2}-16=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a 0 สำหรับ b และ -16 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$a=\frac{0±8}{2}$$

แก้สมการ a^{2}-16=0 เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$a=-4 a=4$$

เขียนนิพจน์ที่แยกตัวประกอบโดยใช้รากที่ได้รับใหม่

$$\left(a-4\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)$$

หาค่า

$$a^{4}-20a^{2}+64$$