แก้โจทย์ a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

หาค่า a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

เมื่อต้องการแก้อสมการ ให้แยกตัวประกอบด้านซ้ายมือ สมการพหุนามกำลังสองสามารถแยกตัวประกอบโดยใช้การแปลง ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ที่ x_{1} และ x_{2} เป็นผลเฉลยของสมการกำลังสอง ax^{2}+bx+c=0

$$a^{2}-68a+225=0$$

สามารถแก้ไขสมการทั้งหมดของฟอร์ม ax^{2}+bx+c=0 ได้โดยใช้สูตรกำลังสอง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} แทน 1 สำหรับ a -68 สำหรับ b และ 225 สำหรับ c ในสูตรกำลังสอง

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

ทำการคำนวณ

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

แก้สมการ a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} เมื่อ ± เป็นบวก และเมื่อ ± เป็นลบ

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

เขียนอสมการใหม่โดยใช้ผลเฉลยที่ได้

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

เพื่อให้ผลคูณเป็น ≤0 ค่าใดค่าหนึ่งของ a-\left(7\sqrt{19}+34\right) และ a-\left(34-7\sqrt{19}\right) ต้องเป็น ≥0 และค่าอื่นๆ ต้องเป็น ≤0 พิจารณากรณีเมื่อ a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 และ a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

เป็นเท็จสำหรับ a ใดๆ

$$a\in \emptyset$$

พิจารณากรณีเมื่อ a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 และ a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

ผลเฉลยที่แก้ไขอสมการทั้งสองคือ a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right]

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

ผลเฉลยสุดท้ายคือการรวมผลเฉลยที่ได้

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$