แก้โจทย์ I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

หาค่า

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

หาค่าปริพันธ์ที่ไม่จำกัดก่อน

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

รวมผลรวมทีละพจน์

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

แยกตัวประกอบค่าคงที่ในแต่ละพจน์

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t^{2}\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{3}}{3}

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

เนื่องจาก \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} สำหรับ k\neq -1 ให้แทนที่ \int t\mathrm{d}t ด้วย \frac{t^{2}}{2} คูณ -24 ด้วย \frac{t^{2}}{2}

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

ค้นหาอินทิกรัลของ 143 โดยใช้ \int a\mathrm{d}t=at ของกฎอินทิกรัลทั่วไป

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

อินทิกรัล definite เป็น antiderivative ของนิพจน์ที่ประเมินที่ขีดจำกัดสูงสุดของการรวมข้อมูลลบ antiderivative ที่ประเมินเมื่อขีดจำกัดล่างของการรวม

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

หาอนุพันธ์ของ w.r.t. x

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$