แก้โจทย์ 9y^2+12y+4=0

$$9 y ^ { 2 } + 12 y + 4 = 0$$

หาค่า y

$$y=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 9y^{2}+ay+by+4 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=12 ab=9\times 4=36$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าบวก a และ b มีเครื่องหมายเดียวกัน เนื่องจาก a+b เป็นบวก a และ b เป็นค่าบวกทั้งคู่ แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ 36

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม 12

$$a=6 b=6$$

เขียน 9y^{2}+12y+4 ใหม่เป็น \left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right)

$$\left(9y^{2}+6y\right)+\left(6y+4\right)$$

แยกตัวประกอบ 3y ในกลุ่มแรกและ 2 ใน

$$3y\left(3y+2\right)+2\left(3y+2\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม 3y+2 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(3y+2\right)\left(3y+2\right)$$

เขียนใหม่เป็นทวินามกำลังสอง

$$\left(3y+2\right)^{2}$$

เมื่อต้องการค้นหาผลเฉลยของสมการ ให้แก้ 3y+2=0

$$y=-\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$9y^{2}+12y+4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 9 แทน a, 12 แทน b และ 4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

ยกกำลังสอง 12

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

คูณ -4 ด้วย 9

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

คูณ -36 ด้วย 4

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

เพิ่ม 144 ไปยัง -144

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

หารากที่สองของ 0

$$y=-\frac{12}{2\times 9}$$

คูณ 2 ด้วย 9

$$y=-\frac{12}{18}$$

ทำเศษส่วน \frac{-12}{18} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 6

$$y=-\frac{2}{3}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$9y^{2}+12y+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$9y^{2}+12y+4-4=-4$$

ลบ 4 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$9y^{2}+12y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$\frac{9y^{2}+12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

หารด้วย 9 เลิกทำการคูณด้วย 9

$$y^{2}+\frac{12}{9}y=-\frac{4}{9}$$

ทำเศษส่วน \frac{12}{9} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$y^{2}+\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

หาร \frac{4}{3} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ \frac{2}{3} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ \frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง \frac{2}{3} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

เพิ่ม -\frac{4}{9} ไปยัง \frac{4}{9} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

ตัวประกอบy^{2}+\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$y+\frac{2}{3}=0 y+\frac{2}{3}=0$$

ลบ \frac{2}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{2}{3} y=-\frac{2}{3}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว ผลเฉลยจะเหมือนกัน

$$y=-\frac{2}{3}$$