แก้โจทย์ 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

หาค่า x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

$$x=3$$

ขั้นตอนที่ใช้แยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่ม

เมื่อต้องการแก้สมการ ให้แยกตัวประกอบทางด้านซ้ายมือโดยการจัดกลุ่ม ขั้นแรกต้องเขียนด้านซ้ายมือใหม่เป็น 9x^{2}+ax+bx-24 เมื่อต้องการค้นหา a และ b ให้ตั้งค่าระบบเพื่อแก้

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

เนื่องจาก ab เป็นค่าลบ a และ b มีสัญลักษณ์ตรงข้ามกัน เนื่องจาก a+b เป็นค่าลบตัวเลขค่าลบมีค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าจำนวนบวก แสดงรายการคู่จำนวนเต็มดังกล่าวทั้งหมดที่ให้ผลิตภัณฑ์ -216

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

คำนวณผลรวมสำหรับแต่ละคู่

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

โซลูชันเป็นคู่ที่จะให้ผลรวม -19

$$a=-27 b=8$$

เขียน 9x^{2}-19x-24 ใหม่เป็น \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

แยกตัวประกอบ 9x ในกลุ่มแรกและ 8 ใน

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

แยกตัวประกอบของพจน์ร่วม x-3 โดยใช้คุณสมบัติการแจกแจง

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาโซลูชันสมการให้แก้ไข x-3=0 และ 9x+8=0

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

ขั้นตอนที่ใช้สูตรกำลังสอง

สมการทั้งหมดของรูปแบบ ax^{2}+bx+c=0 จะสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรยกกำลัง: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ได้ สูตรยกกำลังจะช่วยให้ได้รับสองผลเฉลย หนึ่งคือเมื่อ ± เป็นบวกและอีกหนึ่งคือเมื่อเป็นลบ

$$9x^{2}-19x-24=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 9 แทน a, -19 แทน b และ -24 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

ยกกำลังสอง -19

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

คูณ -4 ด้วย 9

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

คูณ -36 ด้วย -24

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

เพิ่ม 361 ไปยัง 864

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

หารากที่สองของ 1225

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

ตรงข้ามกับ -19 คือ 19

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

คูณ 2 ด้วย 9

$$x=\frac{19±35}{18}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{19±35}{18} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม 19 ไปยัง 35

$$x=\frac{54}{18}$$

หาร 54 ด้วย 18

$$x=3$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{19±35}{18} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 35 จาก 19

$$x=-\frac{16}{18}$$

ทำเศษส่วน \frac{-16}{18} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 2

$$x=-\frac{8}{9}$$

สมการได้รับการแก้ไขแล้ว

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

ขั้นตอนสำหรับการคำนวณกำลังสอง

สมการกำลังสองเช่นนี้จะสามารถหาค่าได้ ด้วยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ในการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ขั้นแรกสมการต้องอยู่ในรูปแบบ x^{2}+bx=c

$$9x^{2}-19x-24=0$$

เพิ่ม 24 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

ลบ -24 จากตัวเองทำให้เหลือ 0

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

ลบ -24 จาก 0

$$9x^{2}-19x=24$$

หารทั้งสองข้างด้วย 9

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

หารด้วย 9 เลิกทำการคูณด้วย 9

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

ทำเศษส่วน \frac{24}{9} ให้เป็นพจน์ต่ำสุดโดยลดทอนด้วย 3

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

หาร -\frac{19}{9} สัมประสิทธิ์ของพจน์ x ด้วย 2 เพื่อรับ -\frac{19}{18} จากนั้นเพิ่มกำลังสองของ -\frac{19}{18} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ ขั้นตอนนี้จะทำให้ด้านซ้ายของสมการเป็นกำลังสองสมบูรณ์

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

ยกกำลังสอง -\frac{19}{18} โดยยกกำลังสองทั้งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วน

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยัง \frac{361}{324} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

ตัวประกอบx^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324} โดยทั่วไป แล้ว เมื่อx^{2}+bx+cเป็นกําลังสองสมบูรณ์ จะสามารถแยกตัวประกอบเป็น\left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}ได้เสมอ

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

หารากที่สองของทั้งสองข้างของสมการ

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

เพิ่ม \frac{19}{18} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$